Cette image représente un triangle « de Sierpiński », dessiné à la craie sur la place Carnot, à Lyon. Nous l’avons créé à douze, dont cinq enfants, en deux heures, dans le cadre du projet #StreetMath.
Le but de #StreetMath est de créer des œuvres artistiques et citoyennes d’inspiration mathématique. C’est un laboratoire d’exploration urbaine ouvert à tous et toutes. Nos œuvres sur les places de Lyon sont éphémères et disparaissent avec la pluie. Si vous vivez à Lyon ou pas loin, venez nous rejoindre !
Alors, que dessinions-nous ce jour-là ?
Une carte dont chaque point est un carrefour ?
Nous sommes raisonnablement déçu·e·s par un fromage plein de trous – il n’y a presque rien à manger ! Par contre, mathématiquement, un tel fromage peut s’avérer très attirant.
Un exemple d’un tel objet troué est le triangle de Sierpiński. Il porte le nom du mathématicien polonais Wacław Sierpiński qui a, en 1915, résolu grâce à ce triangle le problème suivant : trouver une carte des routes dont chaque point serait un carrefour. On sent tout de suite que cette carte doit être bien complexe…
[Près de 80 000 lecteurs font confiance à la newsletter de The Conversation pour mieux comprendre les grands enjeux du monde. Abonnez-vous aujourd’hui]
Voici comment construire un triangle de Sierpiński. Prenez un triangle équilatéral plein. Puis, dessinez un trou triangulaire, dont les sommets sont situés au milieu des arrêtes du triangle initial – cela lui enlève un quart de son aire. Continuez à enlever un triangle au milieu dans chaque triangle qui apparaît… jusqu’à l’infini ! La figure obtenue dans la limite n’a plus du tout d’aire, puisqu’à chaque étape de cet amaigrissement, l’aire totale est multipliée par 0,75 (les trois quarts restants).
Et c’est presque une carte de Sierpińsky – à part les trois coins du triangle initial ou notre vélo sera obligé à tourner de 60 degrés. En arrangeant six triangles de Sierpiński ensemble en un hexagone, le problème de coins est géré et notre carte hexagonale est prête !
Le triangle de Sierpiński, ligne par ligne
Trouvez une place dont les pavés soient disposés en quinconce. Prenez des craies, invitez des passant·e·s à se joindre à vous, et commencez.
Coloriez un des pavés (de préférence au milieu d’un bord de la place). Il vaut maintenant 1, les autres pavés, vides, valent 0. Ce premier pavé se trouvera au sommet du triangle de Sierpiński. Sur la ligne en dessous de ce premier pavé, chaque pavé sera « la somme » des deux au-dessus de lui, avec une particularité : 1+1=0 ! Descendez ainsi ligne par ligne. Vous verrez émerger le triangle de Sierpiński, en version « pixelisée » !
Cet algorithme nous a permis de dessiner le triangle de Sierpiński de la photo en 128 lignes. L’intérêt de ce motif est son « auto-similarité » : il est composé de trois copies plus…
La suite est à lire sur: theconversation.com
Auteur: Olga Paris-Romaskevich, Chargée de recherche au CNRS, Institut de Mathématiques de Marseille, Aix-Marseille Université (AMU)
